Міністерство освіти і науки України
Національний університет “ Львівська політехніка ”
НАБЛИЖЕНІ МЕТОДИ
РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧІ КОШІ
ДЛЯ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
до виконання лабораторних робіт № 13-14
з курсу “Прикладна інформатика ч.1 ”
для студентів
базового напрямку № 6.030201- “Міжнародні відносини”
спеціальності № 7.030404 - “Міжнародна інформація”
Затверджено
на засіданні кафедри
обчислювальної математики
та програмування
Протокол №10 від 31.03.2010 р.
Львів – 2010
Наближені методи розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь: Методичні вказівки до виконання лабораторнb[ робsт № 13-14 для студентів базового напряму № 6.030201 - “Міжнародні відносини” / Укл.: Білущак Г.І., Гнатів Л.Б., Кутень А.С., Ментинський С.М., Токар О.Є.,2010.– 18 с.
Укладачі: Білущак Г.І., канд. фіз.-мат. наук, доц.
Гнатів Л.Б., канд. фіз.-мат. наук, доц.
Кутень А.С., асистент
Ментинський С.М., ст.викладач
Токар О.Є., асистент
Відповідальна за випуск Білущак Г.І.,канд.фіз.-мат.наук, доц.
Рецензент доктор фіз.-мат. наук, проф. Кутнів М.В.
Передмова
У методичних вказівках розглянуто основні методи розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь - метод Ейлера та метод Рунге-Кутта в OpenOffice.
Методичні вказівки містять типове навчальне завдання, а також індивідуальне завдання для самостійної роботи студентів.
Методичні вказівки призначені для студентів для студентів базового напрямку № 6.030201- “Міжнародні відносини”, спеціальності № 7.030404 - “Міжнародна інформація” і укладені відповідно до робочої програми курсу “Прикладна інформатика, ч.1”.
Тема
Наближені методи розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь
Мета
Уміти розв’язувати задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь методом Ейлера та методом Рунге-Кутта.
Теоретичні відомості
У цій роботі розглядатимемо чисельні методи розв’язування звичайних диференціальних рівнянь 1-го порядку
(1)
з початковою умовою
y(x0)=y0 (2)
Метод Ейлера
Один з підходів до розв’язання задачі Коші (1)-(2) – метод Ейлера. Основна ідея цього методу полягає в застосуванні рядів для обчислення наближених значень розв’язку.
Для обчислення розв’язку в точці , де (), застосуємо рекурентну формулу:
, (3)
Щоб методом Ейлера обчислити розв’язок задачі Коші на з точністю необхідно прийняти .
2. Метод Рунге-Кутта
Розв’яжемо задачу Коші (1)-(2) методом Рунге-Кутта. Для обчислення розв’язку в точках деякого фіксованого відрізку [a,b], де (i=1, 2,…, n), – крок методу, x0=a, xn=b застосуємо рекурентну формулу:
(i = 0, 1, 2…, n) (4)
де
;
Щоб методом Рунге-Кутта обчислити розв’язок задачі Коші на з точністю необхідно прийняти .
Хід роботи
Лабораторна робота № 13
Типове навчальне завдання.
1. Метод Ейлера
Реалізація методу за допомогою калькулятора
Застосуємо метод Ейлера для знаходження наближеного розв’язку диференціального рівняння
якщо з кроком на проміжку з точністю .
1. Розбиваємо відрізок на 10 відрізків точками: 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Крок .
2. Для кожної з точок знаходимо значення функції за допомогою рекурентної формули (3) та заносимо його в таблицю з відповідною точністю.
Результати обчислень з заданою точністю:
0
1
0,1
1
0,2
1,010
0,3
1,029
0,4
1,056
0,5
1,089
0,6
1,127
0,7
1,168
0,8
1,212
0,9
1,258
1
1,306
Реалізація методу засобами OpenOffice
1. Запускаємо програму OpenOffice, переходимо на вільний робочий лист. Створюємо і заповнюємо заголовки таблиці, в якій будемо виконувати обчислення
Формули для обчислень:
Рис. 1
2. Заповнюємо комірки значеннями у стовпці B. У комірку B3 вводимо початкове значення – 0, в комірку B4 – кр...
